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Accueil du site > Culture & Loisirs > Culture > Ces grandeurs physiques que les programmes de maths ne savent pas vous (...)

Ces grandeurs physiques que les programmes de maths ne savent pas vous enseigner. 2.

La variance des grandeurs scalables

Par définition, on peut les rapporter à une unité : elles sont le produit d'une grandeur-unité par un nombre réel.

Par conséquent, si l'on change l'unité de mesure d'une grandeur scalable, le quotient de cette grandeur (par exemple un prix) par son unité est contravariant à cette unité. Dans les classes primaires, ce nombre quotient est désigné comme "le nombre exprimant la mesure de ...", ce qui est trop lourd. Dans les espaces de dimension supérieure à 1, chacun de ces quotients, serait désigné comme "coordonnée", ce qui ici, serait prématuré. Il faut trouver mieux pour ce stade. Je suggère : "multiplicateur", ou "quotient".

Exemples : On peut s'acquitter d'une dette de mille francs, avec deux billets de 500 F, ou vingt billets de 50 F. On peut expédier 60 tonnes de marchandises, par 3 camions de 20 tonnes, ou par 2 camions de 30 tonnes. Cette page mesure en large 21 cm, ou 210 mm, ou 0,21 m. 21 cm = 0,21 m : le quotient est contravariant au diviseur. Quand l'unité est 100 fois plus grande, alors le quotient (de la grandeur par l'unité de base) est 100 fois plus petit. Autrement dit, les quotient varient au contraire de l'unité de base, afin d'avoir compétence à désigner la même grandeur.

Schéma : Grandeur scalable = quotient * grandeur-unité.

Et si l'unité est composée ? Si l'essence est à 5,60 F le litre, et que le dollar est à 5,60 F, alors l'essence est à 1$ le litre : contravariance. Mais elle est à 3,785 $ par gallon, ou encore à 21,20 F par gallon, puisqu'un gallon vaut 3.785 litres : covariance. Ce prix par unité de volume, varie comme l'unité de volume.

Le nombre qui exprime ce prix de l'essence, est covariant à l'unité de capacité : il grandit ou rapetisse comme elle. Ce nombre est contravariant à l'unité monétaire : il grandit ou rapetisse à l'envers de l'unité monétaire. Bizarrement, ces mots de covariance et de contravariance, n'étaient entendus qu'en fin d'études supérieures, alors que les phénomènes désignés, sont rencontrés dès les classes primaires. Rencontrés, mais ignorés dès le passage dans l'enseignement secondaire. C'est une lacune regrettable, car les notions de variance sont le coeur même de la mesure et de la physique. Cette syntaxe des unités physiques, a presque toujours été sous-estimée. Les mathématiciens n'ont jamais daigné s'y intéresser, et trop de physiciens sont trop inadvertants pour en tirer toutes les conséquences.

En grandeurs physiques, les conversions d'unités coulent de source

Calcul d'une longueur d'onde : "Longueur d'onde" = "célérité" . "période"
Les autres combinaisons possibles, que bien de nos élèves lancent au hasard, ne donneront jamais des mètres.
L = L/T . T

"Longueur d'onde" = 343 m/s . 0,025 s = 343 . 0,025 s.m/s = 343 . 0,025 m = 8,6 m

Toutes les conversions d'unités coulent alors de source. On s'impose de n'écrire que des égalités vraies en grandeurs physiques.
Par exemple, pour traduire une masse volumique (ici celle d'un acier) donnée dans des unités non S.I., vers le Système International, on commence par écrire la tautologie :

7,8 . LaTeX: \frac g {cm^3^} = 7,8 . LaTeX: \frac g {cm^3^}
Jusqu'ici, on n'a certainement violé ni la physique, ni la mathématique.

Puis on multiplie le second membre par une fraction égale à 1. On la choisit de façon à faire apparaître les éléments d'unités voulus, et faire disparaître, par simplification, les éléments d'unités indésirables. Ici on veut faire disparaître grammes du numérateur, et y faire apparaître kilogrammes, faire disparaître cm3 du dénominateur, y faire apparaître m3. Procédons en deux étapes :

7,8 . LaTeX: \frac g {cm^3^} = 7,8 .LaTeX: \frac g {cm^3^} . LaTeX: \frac {1 kg}{1000 g} . LaTeX: \frac{1000 cm^3}{1 dm^3} = 7,8. LaTeX: \frac{kg}{dm^3}
(commutativité nombre.unité)

7,8.LaTeX: \frac{kg}{dm^3} = 7,8.LaTeX: \frac{kg}{dm^3} . \frac{1000 dm^3}{1 m^3} = 7800 LaTeX: \frac{kg}{m^3}.

Aux élèves doués, la méthode peut paraître lourde, peu valorisante, et socialement peu sélective. Ils préfèrent deviner le bon résultat, au flair. Mais tous les autres élèves préfèrent cette méthode : elle est incassable !

Mettre en équations, garde-fous par les unités et l'analyse dimensionnelle.

Voici le schéma ci-après, donné en classe, des deux étages d’abstraction dans la résolution d’un problème par l’algèbre.

Poser equations.gif

· Première abstraction : du problème formulé par le client, vers une schématisation des phrases d’énoncé, l’écriture d’un dictionnaire des variables et de leurs symboles (que ce dictionnaire ait une, deux ou dix entrées) et la transcription par la pose d’un système d’équations.

· · Seconde abstraction, quand la vérification dimensionnelle est terminée et ne révèle plus d’erreurs, alors résoudre le sous-système numérique, par les méthodes algébriques.

· · Seconde désabstraction : restituer les unités physiques, pour répondre en grandeurs physiques au problème physique.

· Première désabstraction : répondre dans le langage du client, dans des termes qui lui sont accessibles, et qui répondent à son problème.

Opérateurs de proportionnalité

Si je commande un tissu au mètre, et que le prix du mètre est de 3,90 euros, l'opérateur de proportionnalité qui transforme les mètres en prix du coupon, est "multiplier par 3,9 €/m".

S'agissant d'un envoi par la poste ou un transporteur, le vendeur ajoute un frais d'expédition, que pour simplifier, nous allons considérer fixe, à dix euros.
Soit un nouvel opérateur "Ajouter 10 €".

On peut inverser cette opération, pour répondre à la question : "J'ai tel budget. Quel métrage de ce tissu puis-je acheter ?".
Cela donne la successions d'opérations suivantes :
Retrancher dix euros au budget.
Diviser par le prix du mètre.
Prendre la partie entière de ce résultat en mètres : le vendeur ne compte que des mètres entiers.

 

L'opérateur demi-tour

L'examen de la littérature scientifique du 18e et du 19e siècle, par exemple l'article écrit par Jean le Rond d'Alembert pour l'Encyclopédie, "Nombres négatifs" met en évidence les difficultés nées de la confusion entre nombres et opérateurs. La notion de nombre, triomphante depuis l'Antiquité avec Pythagoras, dévorait celle d'opérateur. D'Alembert concédait que les règles de calcul sur les nombres négatifs étaient correctes, tout en maintenant qu'ils étaient embarrassés sur leur interprétation. Que -1 soit un nombre, pourquoi pas ? Mais ce qui est sûr, c'est que multiplier par -1 est un opérateur.

Beaucoup de nos élèves perdent pied à ce moment là : personne n'avait pensé à leur donner d'image ni d'application parlante, de référence concrète pour ces opérateurs, ni leur champ d'application.

Prenant de ces paumés en B.E.P., je rattrapais leur retard en posant le support, une droite orientée, un de ces axes où l'on pose des abscisses, pour peu qu'on ait défini un vecteur unité dessus. Une parenthèse, je leur donnais l'image d'un autobus miniature, ou d'un wagon miniature, avec des voyageurs dedans. Multiplier cette parenthèse par -1, revenait à retourner le wagon (et ses passagers inclusivement). Multiplier deux fois par -1, c'était faire deux fois un demi-tour, soit revenir à l'orientation initiale.

Nous y reviendrons, avec l'opérateur quart-de-tour, applicable à des vecteurs.

Liens vers les chapitres suivants, grandeurs géométriques de la physique

Vecteurs, définition, propriétés
Métrique des grandeurs vectorielles en physique
Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

Bibliographie et Références

APMEP, Commission Mots, n° 6 : Grandeurs et mesures. APMEP, 1982, Paris. Brochure n° 46.

André Pressiat. Calculer avec les grandeurs Actes de l'Université d'été de Saint-Flour.

André Pressiat. Quotients - Proportionnalité - Grandeurs Quotients - Proportionnalité - Grandeurs

Jean-François MUGNİER. Recherche et rédaction de problèmes au Collège. Feuille de Vigne n° 100 – Juin 2006.


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7 réactions à cet article    



    • MKT 22 mai 2015 15:55

      Bonjour,
      J’ai lu votre premier article qui me semblait un peu difficile à suivre, bien que juste sur le plan du contenu.
      Bien sur il faut faire des efforts si l’on veut apprendre.

      Votre second article, à mon sens, apporte un éclairage très intéressant sur la notion de nombre négatif.

      Je vous encourage à persévérer dans cette approche de « vulgarisation » car nous entrons, me semble-t-il dans un nouvel « Âge des Ténèbres » ; certains se piquant d’être des scientifiques écrivant des articles relevant de rêves métaphysiques.

      Courage !


      • JC_Lavau JC_Lavau 22 mai 2015 21:40

        @MKT.

        Votre demande pose problème, d’une part car vous n’exprimez pas dans quel domaine vous voudriez d’autres vulgarisations, d’autre part parce que la suite de celle-ci, qui se trouve dans les liens ci-dessus, dépasse le cadre du collège dont la contre-réforme éventuelle est d’actualité grâce à l’initiative de Kevin Queral.

        Le wiki http://deontologic.org/geom_syntax_gyr
        a été créé à l’intention de professeurs de physique-chimie, à qui il faut reprendre les bases pour qu’ils cessent de répéter les vieilles blagues du « produit vectoriel », et apprennent à faire leur cours sur des bases rationnelles - qui ne violent ni la physique, ni les mathématiques.
        Donc la suite est de niveau lycée, classes scientifiques.

        Je lui ai donné peu d’applications (essentiellement l’électromagnétisme), et je devrais en donner plus. J’ai donné la remise à l’endroit d’une partie de l’enseignement de la mécanique : les trajectoires inertielles anti-Coriolis des courants marins et des vents (alizées, tornades, cyclones, dépressions, cellules anticycloniques).

        Je devrais traiter les gyroscopes. Je devrais traiter l’effet Zeeman normal et anormal en physique atomique... Je devrais, je devrais, et les journées n’ont que 24 heures.

        Voilà aussi quelques huit ans que j’ai promis un article de vulgarisation sur les arbres de pertinence, et je n’ai encore jamais tenu cette promesse, pourtant d’intérêt général.


      • JC_Lavau JC_Lavau 23 mai 2015 13:13

        @MKT.

        Une autre objection dirimante qui interdit de poursuivre ici le même sujet, est l’inexistence d’outil d’écritures mathématiques sur Agoravox.

        Rien que le produit scalaire de deux grandeurs vectorielles exige l’usage du tenseur métrique de la base choisie, pour être écrit dans le cas général.

        Comparez l’original à sa copie ici (il s’agit de la définition du tenseur métrique, puis de son premier usage) :

        Cela s’appelle le tenseur métrique, ou plus anciennement, la matrice de Gram (au sens des mathématiciens, en oubliant l’unité physique). Une base est orthonormale, si et seulement si sa matrice de Gram est la matrice unité multipliant le carré de l’unité de longueur. De toute évidence, g est un tenseur symétrique, et il est deux fois covariant, par construction.

        D’où le carré du module d’un vecteur, comme produit contracté, dans le cas général :

        L’original est à http://deontologic.org/geom_syntax_gyr/index.php?title=M%C3%A9trique_des_grandeurs_vectorielles_en_physique#Expression_compl.C3.A8te_avec_les_coordonn.C3.A9es

        Un moyen fastidieux de contourner ces limitations est de convertir chaque image LATEX en image tout court, et importer ces images déjà tracées. C’est ce que j’avais dû faire sur feur le forum de l’UdPPC.


      • JC_Lavau JC_Lavau 23 mai 2015 13:15

        @JC_Lavau..
        Et voilà : aucune écriture mathématique n’est passée.
        Dirimant.

        Sans même parler des objections du public.


      • JC_Lavau JC_Lavau 2 avril 2018 21:18

        Quand dans les années nonante, j’ai commencé à publier et à appliquer au lycée la méthode de conversion ci-dessus, les fureurs, les insultes, la répression et les représailles se sont abattues sur moi.

        Allez voir à cette adresse la wiki de langue anglaise :
         
        Exactement ce que j’avais publié en décembre 1996 :
        http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Mystification_.htm#_Toc48324848
         
        Etre un pionnier, on vous le ait payer cher... 
         
        La wiki française ne s’intéresse pas aux mêmes choses, mais finalement se fait l’écho de mon indignation à ce que le radian ait été exclu des équations dimensionnelles :
         
        Tous ces hurlements de rage qui m’ont été adressés parce que je m’étais rendu compte qu’un radian est le quotient de deux longueurs perpendiculaires entre elles, et que deux fois un quart de tour font un demi-tour...

        • JC_Lavau JC_Lavau 24 juillet 2018 11:29

          Les formules mathématiques ont mystérieusement été remplacées par des images qui n’ont rien à voir.

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