Plusieurs problèmes. D’abord une faute de frappe. c’est h = h/2π.

Ensuite, plus grave (je vais essayer de faire cours et de vous épargner les espaces de Hilbert, les observables et tout le tremblement) :

_ Cette équation différentielle (de Schrödinger) est à variables séparables. Fort bien. Mais c’est une caractéristique de ce type d’équation différentielle. Toutes les équations différentielles de se type le sont, et elles sont un paquet en physique, y compris en physique dite « classique » ! Parce que cette équation de Schrödinger est un tripatouillage de l’équation dite « équation d’onde » de la mécanique classique (pour l’adapter aux découvertes de de Broglie sur la dualité-onde corpuscule), il n’y a rien de surprenant à ce qu’elle soit à variables séparables comme ses homologues classiques.
C’est bien les équa. difs à variables séparables : c’est beaucoup plus facile à résoudre et elles sont nombreuses dans ce cas, encore une fois, j’insiste.
De fait, un paquet de solutions en mécaniques classiques se comportent mathématiquement comme l’équation de Schrödinger. En particulier TOUTES LES SOLUTIONS DE L’ÉQUATION D’ONDE CLASSIQUE QUI FONT APPARAITRE DES ONDES STATIONNAIRES !
Ça fait beaucoup !
Un exemple bien connu est très semblable à l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène : c’est le problème du tambour. Si Schrödinger a résolu son équation si complexe pour l’atome d’hydrogène en une nuit (comme le prétend la légende), ce n’est pas parce que c’était un génie des maths, mais parce que ses solutions lui étaient très familières. Si on étudie les modes de vibrations et les vibrations d’une membranes circulaire (tambour), on obtient les même harmoniques sphériques à deux dimensions que dans les solutions données par Schrödinger de l’atome d’hydrogène, à trois dimensions. Si l’on applique l’équation d’onde classique à un objet sphérique, c’est à dire si on recherche les modes propres de vibrations d’un objet sphérique, et bien là c’est kif-kif bourricot : La partie angulaire Ψ(θ,φ) de l’équation de la solution de Schrödinger est rigoureusement identique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Harmonique_sph%C3%A9rique

De même, la séparation des variables fait apparaitre dans ce type de problèmes classiques exactement le même type d’équation aux valeurs propres que dans le cas quantique : on associe à chaque énergie un mode de vibration du tambour (un mode de vibration = une note pure, sans harmoniques). Ce qui m’amène au second problème :

_ Vous n’avez pas compris ce qu’est un état stationnaire, ou état propre. C’est un mode de vibration, comme une note de musique. Pour une corde de guitare, par exemple (même type d’équation à variable séparable). La fonction physique qui donne l’état de la corde pour un mode donné en un temps donné ne présentant pas beaucoup d’intérêt, on ne se préoccupe que de l’aspect de la corde (une succession de ventres et de nœuds), qui semble être stationnaire au cours du temps. A chaque mode est associé une énergie, et une combinaison de modes donnant le timbre de la note de guitare, le mode d’ordre le plus bas donnant la hauteur de la note perçue par l’oreille.
Parce que toutes combinaisons d’états propres est aussi solution de l’équation, on recherche les états propres (stationnaires, ne dépendant pas du temps, pour lesquels l’équation d’onde est plus facile à résoudre), puis leur combinaison qui correspond au problème physique (je schématise...).

Pareil en méca Q : L’évolution au cours du temps d’un mode stationnaire ne présente aucun intérêt physique, parce qu’il est stationnaire, invariant, justement. C’est la combinaison linéaire de différents états propres qui varient au cours du temps, parce que les différents états propres interfèrent entre eux. Ce qui ne se produit pas dans un atome isolé. Les niveaux d’énergie sont stationnaires, d’où le tableau périodique. Par contre, cela ce produit au sein des liaisons chimiques (mésomérie et résonance par exemple : combinaison d’états propres).

Je ne dis pas que la mécanique quantique ne pose aucun problème d’interprétation, que l’on comprend tout, loin de là... Comme disait Feynman, en substance : « On reconnait quelqu’un qui n’a rien compris à la mécanique quantique à ce qu’il prétend l’avoir comprise. »

Mais le problème de l’interprétation de son aspect mathématique ne réside pas dans le fait que l’équation de Schrödinger soit à variables séparables. C’est un aspect intéressant qui a plein de conséquences intéressantes, mais ce n’est pas un mystère.

Un gros problème d’interprétation (en plus des problèmes de causalités, entre autres) se situe en amont. C’est ce qui sert de prémisse à cette fameuse équation : c’est la fameuse dualité onde/corpuscule. A partir du moment où on a une onde, on a ce comportement en variables séparées qui implique des états stationnaires. Normal.

Mais une onde de quoi ? Une onde immatérielle de probabilité pas toujours si immatérielle que ça, apparemment, d’ailleurs) ? That is the question, entre autres...
Bohm introduit des éléments intéressants qui répondent en parti à la question, mais ça reste un sacré problème...