La première définition, c’est celle de l’énergie liée à l’inertie du mouvement (Force vive = mv²), ça date du XVIIème siècle (Leibniz). D’où une dimension Masse * (longueur ²) / (Temps ²). Cela correspond à la grandeur qui se conserve dans le temps lors d’un choc des masses en mouvement horizontal.
 
Ensuite, la conception fut généralisée au mouvement vertical, avec l’invention de l’énergie potentielle de pesanteur au XIXème siècle : lors d’une chute, toute l’énergie potentielle de pesanteur se convertit en énergie cinétique (et inversement lors d’une ascension). C’est ce qui aboutit à l’Hamiltonien, qui décrit la conservation de l’énergie mécanique.

Parallèlement fut fondée la science thermodynamique (Carnot). On a l’énergie interne U qui est constante si le système est fermé. Sa variation ΔU = Q + W est donc liée à l’échange d’énergie, soit sous forme de chaleur (Q), soit sous forme de travail (W) avec l’extérieur.
 
Parallèlement, fut encore fondée l’électricité.
Ici, nous avons trois forme d’énergies :
- l’énergie stockée sous forme électrique dans les condensateurs, de forme q²/c, avec q la charge du condensateur, et C la capacité du condensateur.
- l’énergie stockée sous forme magnétique dans les bobines, de forme L*i², avec i le courant qui traverse la bobine, et L l’inductance de la bobine.
- l’énergie dissipée sous forme de chaleur dans les résistance, de forme Q=R*∫i².dt, avec i le courant qui traverse la résistance, R la résistance.

Là encore, pas de mystère : toute énergie envoyée dans un circuit électrique se retrouve soit stockée sous forme électrique, soit stockée sous forme magnétique, soit dissipée sous forme de chaleur.

Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme : l’énergie reste constante et se transforme en de multiples formes (cinétique, électrique, magnétique, thermique, chimique, ...etc)

L’énergie est donc définie comme la grandeur physique qui reste constante dans le temps.

A l’affirmation : tout est vibration...
Je ne vois pas ce qui permet d’affirmer cela.
Une vibration implique que quelque chose vibre.
C’est une action qu’un objet physique effectue.
Par conséquent, il faut bien qu’il existe un support matériel pour caractériser une vibration.
Certes, on peine à connaître l’essence des choses, mais il faut au moins reconnaître leur existence, et pour cela, il suffit de leur donner un nom.
 
C’est d’ailleurs bien le problème de la quantique : L’on ne sait pas ce qui vibre...
Que caractérise la fonction d’onde ? Une masse, une charge ?
Non, une densité de probabilité de présence...
Waouh ! Bel Objet Physique Non Identifié...

Je crois que c’est vraiment de la très mauvaise physique, incapable de définir clairement les concepts qu’elle utilise. Cela a jeté des dizaines de milliers d’étudiants dans des abimes de perplexité.
 
En fait l’équation de Schrödinger est analogue à l’équation de la chaleur (en temps complexe), ou encore à une équation hydrodynamique. La fonction d’Onde a la dimension d’une vitesse.
Il fut très commun d’envisager la chaleur comme un fluide.

Donc il faut voir l’équation de Schrödinger comme la modélisation du fluide des charges électriques négatives (les électrons) de l’hydrogène, par défaut statiquement lié aux charges positives (quoique infiniment plus mobile que les charges électriques positives qui sont plus massives et donc plus « froides »).
 
En fait, votre problème est que vous êtes Aristotélicien à l’excès, et que vous ambitionnez donc de retrouver, par la spéculation intellectuelle, l’essence universelle de toute chose (ici, en l’occurrence la vibration universelle). Vous voulez réduire, au forceps, la multiplicité qui se montre à l’unité ultime.

Moi, je suis d’abord créationniste : je considère qu’il y a un existant créé tel quel, et ma physique se borne donc à déterminer l’existant tel qu’il se montre factuellement, pour tenter de déterminer la manière dont il se comporte et dont il varie sous diverses sollicitations.

Ainsi, j’ai déjà abdiqué de découvrir l’essence absolue des choses,
je me restreins volontairement à tenter de connaître leur manière d’exister.