@Gégène

Bonne question  !

Tout d’abord ; je voudrais préciser que je considère les maths modernes comme un échec dans le primaire. Vouloir apprendre à compter en base 5, 8 ou 12 est une perte de temps à ce niveau, et jette un fumigène sur le réel apprentissage de la numération. Ces maths modernes, imposées au primaire comme un panacée, ont paniqué tout le monde : enseignant, parents et élèves, et ont agi comme un immense repoussoir pour les mathématiques. Est-ce mieux maintenant ? C’est à voir...

Les maths modernes étaient cependant nécessaires dès l’entrée au lycée. L’étude des structures algébriques permet d’unifier des pans entiers des mathématiques, et d’initier l’élève à se placer dans des espaces définis par une certaine axiomatique, puis à faire fonctionner cette axiomatique pour engranger des résultats que l’on n’aurait pas pu prévoir ni obtenir autrement.

L’élève apprend à structurer ses connaissances et à raisonner comme on l’a découvert avec les nombreuses découvertes en sciences au siècle dernier. Les structures de groupe, d’anneaux et de corps , ainsi que les espaces vectoriels, définis axiomatiquement, sont bien les premiers pas vers les découvertes fondamentales en sciences physiques effectuées au XXe siècle.

De pans entiers de la physique nécessitent de se placer dans des espaces vectoriels, ou plutôt des structures encore plus complexes qui seront étudiées à l’université, comme les espaces hilbertiens, hermitiens et autres. Ne pas faire ces premiers pas au lycée, c’est retarder l’apprentissage de nos futurs scientifiques et les mettre en difficulté devant les nouveaux formés qui viennent de Chine ou d’ailleurs. Est-ce raisonnable ?

Voici des exemples significatifs de l’utilisation de ces espaces en sciences physiques.

Le cadre mathématique fondamental de la relativité générale est celui d’une variété différentielle lorentzienne, soit une variété différentiable de dimension 4 munie d’une métrique pseudo-riemannienne. C’est notre espace-temps courbe !

Celui de la relativité restreinte est un espace de Minkowski, soit un espace affine de dimension 4
muni d’une forme quadratique non définie positive. On découvre ces espaces en licence ou master, mais bien savoir déjà ce qu’est un espace affine, avec les axiomes d’un tel espace, fait prendre 3 années d’avance au bachelier qui désire continuer en fac de sciences ! Là, on se place dans une géométrie pseudo-euclidienne, qui n’est pas un espace hilbertien.

Enfin, et ce sera mon dernier exemple : celui de la mécanique quantique. Dans cette théorie si étonnante et prometteuse, et qui a déjà fait ses preuves, on travaille tout spécialement dans un espace de Hilbert complexe séparable, généralement de dimension infinie lorsque le système possède une infinité d’états possibles.

On pourrait continuer comme ça bien longtemps.

Au lycée, on ne devrait pas apprendre les sciences comme si l’on était restés au XIXe siècle, avec la géométrie présentée par Euclide et la thermodynamique pour comprendre comment faire fonctionner un cheval de fer.