@sylvain

Wikipedia donne les grandes lignes du raisonnement, mais sans les détails.

J’ai trouvé une approche plus courte dans le livre de JC_Lavau, « Microphysique quantique transactionnelle, Principes et applications ».

Je reproduis ici en ne retenant que ce qui est absolument essentiel.

Pour l’onde de matière de De Broglie, on part de l’équation d’onde la plus simple possible :

∂²/∂x² Ψ - 1/ṽ² ∂²/∂t² Ψ = 0

C’est l’équation de d’Alembert en une dimension où ṽ est la vitesse de phase de l’onde de De Broglie.

On peut superposer des ondes monochromatiques pour former un paquet d’ondes qu’on associe à la particule. La vitesse de groupe v du paquet d’onde est alors assimilée à la vitesse de la particule.

On suppose ensuite, que comme dans beaucoup d’autres circonstances, par exemple pour les ondes électromagnétiques se déplaçant dans un guide d’ondes, le produit de la vitesse de phase par la vitesse de groupe donne le carré de la vitesse de la lumière :

v ṽ = c²

Ceci permet de réécrire l’équation de d’Alembert sous la forme

∂²/∂x² Ψ - v²/c⁴ ∂²/∂t² Ψ = 0

ou encore

∂²/∂x² Ψ - 1/c² ∂²/∂t² Ψ = -1/c² (1 - v²/c²) ∂²/∂t² Ψ

On introduit la relation de Planck-Einstein :

m₀ c² / sqrt(1 - v²/c²) = h ν (ν = fréquence)

pour faire disparaître la vitesse de groupe :

∂²/∂x² Ψ - 1/c² ∂²/∂t² Ψ = -1/c² (m₀ c^2 / h ν)² ∂²/∂t² Ψ

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationnaires, la solution peut être factorisée :

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ω t) où ω =2 π ν est la pulsation de phase.

On a donc ∂²/∂t² Ψ = - ω² Ψ et notre équation d’onde devient

∂²/∂x² Ψ + ω²/c² Ψ = ω²/c² (m₀ c^2 / h ν)² Ψ

On remplace ω par 2 π ν = 2 π h ν / h = 2 π m c² / h à gauche

et par 2 π ν à droite.

Après quelques calculs élémentaires mais ennuyeux, on obtient

∂²/∂x² Ψ + (c/ħ)² (m² - m₀²) Ψ = (c/ħ)² (m + m₀) (m - m₀) Ψ

où ħ = h/2π.

Jusqu’ici, tout est conforme à la relativité. On va maintenant passer à la limite classique pour des vitesses pas trop élevées

m + m₀ ≈ 2 m₀

c² (m - m₀) est l’énergie cinétique, ou la différence entre l’énergie totale et l’énergie potentielle E - V.

On obtient donc finalement

-(ħ²/2m₀) ∂²/∂x² Ψ +  V Ψ = E Ψ

qui est bien l’équation de Schrödinger indépendante du temps et en une dimension. On peut immédiatement généraliser en 3 dimensions en remplaçant ∂²/∂x² par le laplacien.