"...cette fonction ne peut prendre le statut d’une loi puisqu’elle évolue dans le temps. Sans oublier l’espace de configuration qui avec sa dimension 3N (N étant le nombre de particules) n’a plus rien de commun avec notre espace ordinaire.« 

 !!!!!!????!!!!

Ça, c’est une grosse... bêtise. Visiblement, vous n’avez aucune idée de ce qu’est un espace de Hilbert.

Quand je lis une bourde pareille (et en l’occurrence il y en a plusieurs dans la même phrase), je m’arrête.... Pas la peine de continuer.

Il y a autant de dimensions mathématiques que d’état stationnaire possible pour une particule. C’est une particularité mathématique du type d’équation différentielle que l’on trouve en Méca Q (et donc, bien sûr, de l’équation de Schrödinger). Chaque état stationnaire représente une fonction d’onde. La combinaison de ces états représente l’état de la particule.

On fait une analogie géométrique : tout se passe comme si chaque état stationnaire représentait un vecteur de base d’un repère orthonormé à N dimensions pour N états stationnaires possibles. N peut être infini (il l’est souvent d’ailleurs...). On a alors bâtit un espace de Hilbert :

 L’état d’une particule est une combinaison de ces fonctions d’onde orthogonales, comme un vecteur de l’espace est une combinaison des 3 vecteurs de base orthogonaux d’un repère. Il s’agit de la généralisation des propriétés géométriques des vecteurs (les matheux appellent ça une structure d’espace vectoriel) à certaines familles de fonctions.

On a bien sûr défini un produit scalaire de ces fonctions d’ondes. Le produit scalaire d’une fonction stationnaire avec elle même est égale à 1, et le produit scalaire de deux fonctions stationnaires différentes est toujours nul (puisque qu’elles sont »orthogonales"), comme pour les vecteurs de base de l’espace dont les lycéens ont l’habitude. Le produit scalaire de deux fonctions est défini comme l’intégrale infinie (il s’agit donc bien d’un nombre réel...) du produit d’une fonction avec le complexe conjugué de l’autre (si mes souvenirs sont bons).

Une fonction d’onde quantique est interprétée comme sa projection (son produit scalaire) sur ces fonctions orthogonales, les coefficients (les coordonnées, comme ceux des vecteurs de l’espace ou du plan) de cette projection donnant la probabilité d’une particule d’être dans tel ou tel état.

Les particularités de ses fonctions orthogonales, solutions de certaines équations différentielles, étaient connues bien avant la méca Q. Les polynômes de Legendre et d’Hermite (que l’on retrouve abondamment en Méca Q), par exemple :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_orthogonaux
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Legendre
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_d%27Hermite

Notez la définition du produit scalaire dans ces exemples (il s’agit en l’occurrence de fonctions réelles : elles sont égales à leurs conjugués complexes).

Rien, mais alors rien à voir avec des dimensions d’espace ! Il s’agit d’une analogie mathématique fondée sur la théorie des espaces vectoriels.

En plus, je vous soupçonne fortement de faire une confusion entre le nombre de degrés de liberté et le nombre de dimensions (mathématiques...) d’un système. Il n’y a aucune raison qu’un système de N particules soient mathématiquement décrit par un espace de 3N dimensions. A moins que vous considériez ses 3N degrés de liberté de translation (c’est 6N degrés de liberté si on tient compte des rotations possibles).

D’ailleurs, dans bien des cas, le nombre de dimensions des espaces de Hilbert que l’on rencontre en méca Q est infinie, et ce pour une seule particule seulement ! Au contraire, ajouter beaucoup de particules en interaction peut faire diminuer la complexité d’un système, cet ensemble de particules en interaction pouvant adopter un comportement très grégaire...